Série

Provas sem palavras

No canal, cada uma é um vídeo vertical sem narração, só a figura sobre música. Aqui, cada uma ganha a figura interativa, a conta por escrito e o episódio onde a ideia aparece.

  1. 01

    A soma dos ímpares é um quadrado

    1+3+5+⋯+(2n−1)=n21 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2

    Cada moldura em L tem 2k + 1 casas — exatamente o próximo ímpar. Por isso somar os ímpares em ordem nunca deixa de dar um quadrado.
  2. 02

    Dois triângulos viram um retângulo

    1+2+⋯+n=n(n+1)21 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}

    Empilhe 1 + 2 + … + n como uma escada, faça uma cópia, gire e encaixe: um retângulo n por n + 1. Sem somar nada.
  3. 03

    Pitágoras: o mesmo quadrado, duas arrumações

    a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

    Quatro triângulos iguais num quadrado de lado a + b, arrumados de dois jeitos. O que sobra nas duas arrumações tem de ser igual.
  4. 04

    A soma dos cubos é um quadrado perfeito

    13+23+⋯+n3=(1+2+⋯+n)21^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = (1 + 2 + \cdots + n)^2

    Um quadrado de lado 1 + 2 + … + n se reparte em molduras em L, e a k-ésima moldura tem exatamente k³ casas.
  5. 05

    Todo cubo é uma soma de ímpares consecutivos

    n3=(n2−n+1)+(n2−n+3)+⋯+(n2+n−1)n^3 = (n^2 - n + 1) + (n^2 - n + 3) + \cdots + (n^2 + n - 1)

    1 = 1, 8 = 3 + 5, 27 = 7 + 9 + 11. Num grupo de k ímpares consecutivos, o do meio vale k² — e o grupo vale k³.
  6. 06

    Meio, mais um quarto, mais um oitavo… dá 1

    12+14+18+⋯=1\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1

    Pinte metade do quadrado, depois metade do que sobrou, para sempre. Nenhum ponto fica de fora: infinitas parcelas, soma exata.
  7. 07

    √2 é irracional: a prova que encolhe para sempre

    2∉Q\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}

    Se √2 = m/n, dois quadrados de lado n cabem num de lado m — e a sobreposição produz a mesma equação com números menores, para sempre.
  8. 08

    Por que a área do círculo é πr²

    A=πr2A = \pi r^2

    Fatie o círculo como uma pizza e intercale as fatias: sai um quase retângulo de altura r e base πr. Quanto mais fino, mais retângulo.
  9. 09

    Galileu: um corpo caindo percorre 1, 3, 5, 7…

    d(n)−d(n−1)∝2n−1d(n) - d(n-1) \propto 2n - 1

    Em intervalos iguais de tempo, um corpo em queda percorre distâncias na razão dos ímpares — e por isso a distância cresce com o quadrado do tempo.
  10. 10

    A descida mais rápida não é a reta

    x=r(θ−sin⁡θ),y=r(1−cos⁡θ)x = r(\theta - \sin\theta),\quad y = r(1 - \cos\theta)

    Reta, arco de círculo e ciclóide ligando os mesmos dois pontos. A reta é a mais curta — e a mais lenta. A ciclóide vence.
  11. 11

    Um tabuleiro com uma casa faltando

    4n−1≡0(mod3)4^n - 1 \equiv 0 \pmod{3}

    Tire qualquer casa de um tabuleiro 2ⁿ × 2ⁿ: o resto sempre se cobre com peças em L. Quatro quadrantes, uma peça no centro, e repita.

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