Galileu: um corpo caindo percorre 1, 3, 5, 7…

A figura

Uma bola cai a partir do repouso. Marque onde ela está a cada intervalo igual de tempo: no primeiro intervalo ela percorre uma unidade; no segundo, três; no terceiro, cinco; no quarto, sete. As distâncias crescem como os ímpares — e, acumuladas, como os quadrados: 1, 4, 9, 16. A escada ao lado é a soma dos ímpares de novo.

A conta

Com aceleração constante $g$, a distância percorrida desde o repouso é $d(t)=\frac{1}{2}g{t}^2$. No $n$-ésimo intervalo de duração $\tau$:

$$d(n\tau )-d((n-1)\tau )=\frac{1}{2}g{\tau }^2(n^2-(n-1{)}^2)=\frac{1}{2}g{\tau }^2(2n-1).$$

Galileu publicou a lei dos ímpares em 1638, nos Discursos sobre duas novas ciências, a partir de experimentos com bolas rolando em planos inclinados — que “diluem” a gravidade o bastante para medir os tempos.