Dois triângulos viram um retângulo

A figura

Uma escada de $1+2+\cdots +n$ quadradinhos. Uma segunda escada igual, girada meia volta, encaixa na primeira degrau por degrau: a linha que tinha $k$ peças ganha $n+1-k$, e todas as linhas ficam com $n+1$. As duas escadas juntas formam um retângulo de $n$ linhas por $n+1$ colunas. Cada escada é metade dele:

$$1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}.$$

A lenda

Conta-se que Gauss, aos nove anos, recebeu do professor a tarefa de somar os números de 1 a 100 — para ficar quieto por um bom tempo — e devolveu a resposta em minutos: emparelhou $1+100$, $2+99$, $3+98$… são 50 pares de 101, ou $5050$. É a mesma figura, dobrada ao meio. A história provavelmente foi enfeitada com os anos; a ideia, não.