A soma dos ímpares é um quadrado

A figura

Um quadradinho. Para virar um quadrado de lado 2, faltam três peças: uma moldura em L. Para chegar ao lado 3, faltam cinco. Depois sete, depois nove. Cada moldura nova tem $2k+1$ peças — uma coluna de $k$, uma linha de $k$ e o canto —, que é exatamente o próximo número ímpar. Somar os ímpares em ordem é empilhar molduras, e molduras empilhadas sempre fecham um quadrado.

A conta

O passo da figura, em símbolos: se os primeiros $k$ ímpares somam $k^2$, o próximo ímpar é $2k+1$, e

$$k^2+(2k+1)=(k+1{)}^2.$$

Com o caso $1=1^2$, a indução leva a igualdade a todo $n$ — inclusive aos quadrados que ninguém vai desenhar.