A Lua está caindo

A pergunta

Por que a Lua não cai na Terra? As respostas mais comuns são que ela está longe demais, ou que lá em cima não tem gravidade. As duas estão erradas. A gravidade da Terra na distância da Lua é bem real — 2,70 milímetros por segundo ao quadrado — e é a única coisa que age lá.

A resposta certa é mais estranha e mais simples: a Lua está caindo. Agora, o tempo todo. A cada segundo ela cai 1,36 mm em direção à Terra, há bilhões de anos. O que ela não faz é chegar.

O canhão de Newton

Newton desenhou a explicação num livro — o Tratado do Sistema do Mundo, publicado em 1728 —, e é um dos melhores desenhos da física. Ponha um canhão no alto de uma montanha muito alta, acima do ar, apontado na horizontal. Atire.

A bala sai reta e cai: percorre alguns quilômetros e bate no chão. Mais pólvora, e ela vai mais longe. Só que a Terra é redonda: enquanto a bala avança, o chão vai se afastando dela, curvando para baixo. A cada tiro a bala cai o mesmo tanto por segundo, mas avança mais — e o chão foge mais.

Até um tiro em que a bala cai exatamente no ritmo em que o chão foge. Ela nunca encosta: dá a volta e vem acertar o canhão por trás.

A velocidade que erra o planeta

Dá para calcular essa velocidade com a mesma imagem do episódio. Em um tempo curto $t$, a bala cai

$$\text{queda}=\frac{1}{2}g{t}^2.$$

Enquanto isso ela avança $x=vt$ na horizontal, e o chão — um círculo de raio $R$ — se afasta da reta horizontal por $R-\sqrt{R^2-x^2}\approx \frac{x^2}{2R}$. Para a bala nunca encostar, as duas coisas precisam ser iguais:

$$\frac{1}{2}g{t}^2=\frac{v^2{t}^2}{2R}⟹v=\sqrt{gR}.$$

O tempo cancela: vale a cada instante, e por isso vale para sempre. Com $g=GM/R^2$, é o mesmo que $v=\sqrt{GM/R}$. Para uma órbita rasante:

$$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}\approx 7,9\text{km/s}\approx 28500\text{km/h}.$$

Órbita não é uma coisa que se faz subindo. É uma coisa que se faz indo rápido para o lado.

Acima dessa velocidade a trajetória vira uma elipse, que sobe do lado oposto do planeta e volta ao ponto de partida. E a $\sqrt{2}$ vezes a velocidade circular — 11,2 km/s na superfície — a energia de movimento paga toda a “dívida” gravitacional, $\frac{1}{2}{v}^2=GM/r$, e a bala não volta mais.

A conta da Lua

Volte para a Lua. Se a gravidade da Terra desligasse agora, a Lua sairia pela tangente, em linha reta. Compare onde ela realmente está um segundo depois com onde essa reta estaria: a diferença é a queda.

A Lua dá uma volta de raio $r\approx 384400$ km em $T\approx 27,3$ dias. Para fazer essa curva, ela precisa de uma aceleração apontada para o centro de

$$a=\frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}\approx 0,00272{\text{m/s}}^2,$$

e em um segundo isso dá uma queda de $\frac{1}{2}a{t}^2\approx$ 1,36 mm.

O teste que Newton fez

Agora a parte em que a física nasce. A Lua está a uns 60,3 raios terrestres do centro da Terra — vamos arredondar para 60. Se a gravidade cai com o quadrado da distância, a aceleração lá deveria ser $60^2=3600$ vezes menor que aqui:

$$\frac{g}{60^2}=\frac{9,81{\text{m/s}}^2}{3600}\approx 0,00272{\text{m/s}}^2.$$

É o mesmo número que a órbita exige. A mesma lei, com a mesma conta, para a maçã que cai aqui e para a Lua que dá a volta lá em cima. Antes disso eram dois assuntos separados — coisas que caem e coisas que giram. Uma linha de conta transformou o céu em física.

A estação espacial

Isso desfaz a confusão mais comum sobre astronautas flutuando. A estação espacial voa a uns 400 km de altura, e lá a gravidade vale

$$\frac{g(R+400\text{km})}{g(R)}={\left(\frac{R}{R+400\text{km}}\right)}^2\approx 0,885$$

— 88,5% da gravidade do chão. Praticamente nada mudou. O astronauta não flutua por falta de gravidade: ele flutua porque está caindo, e a estação está caindo junto, na mesma taxa. É a sensação do elevador quando arranca para baixo, ou do primeiro segundo de uma montanha-russa — o estômago sobe porque o chão parou de empurrar.

Na estação isso não acaba nunca, porque ela está sempre errando o planeta a uns 28.000 km/h, uma volta a cada 92 minutos. O nome certo daquilo não é “ausência de peso”: é queda livre permanente.

A Lua está se afastando

E a palavra “eterno” não serve para órbita nenhuma. As marés que a Lua levanta na Terra freiam a rotação do nosso planeta, e o que a Terra perde de giro vai para a Lua como energia de órbita. Ela se afasta uns 3,8 cm por ano — medidos com laser, mirando os refletores que as missões Apollo deixaram lá. Em troca, o dia terrestre fica mais longo, cerca de dois milissegundos por século.

Os números do episódio

Desafios

Para ir além

• O “teste da Lua” aparece no livro III dos Principia (1687). Newton contou, mais tarde, que tinha feito uma versão da conta já em 1666, com dados imprecisos que não fechavam tão bem.
• A distância da Lua é medida hoje com precisão de milímetros, cronometrando pulsos de laser refletidos pelos espelhos deixados pelas missões Apollo 11, 14 e 15.
• A mesma física — energia de movimento contra energia de posição — é o assunto de Afinal, o que é energia?.