A corda em volta da Terra

A pergunta

Imagine uma corda em volta da Terra, no equador, encostada no chão: são 40.075 km de corda. Agora levante essa corda um metro do chão — o anel inteiro, na mesma altura. Quantos metros de corda a mais você precisa?

Quase todo mundo chuta em quilômetros. A corda é gigante, então a correção tem de ser gigante. A resposta é 6,28 metros: um pedaço de corda que cabe numa sala levanta um metro um anel que dá a volta no planeta. E tem uma coisa mais estranha que essa: o tamanho da Terra não entra na conta. Uma bola de futebol, o Sol, o universo inteiro — os mesmos 6,28 metros.

A conta

Um círculo de raio $r$ tem comprimento

$$C=2\pi r.$$

É a única coisa que a conta usa, e é a definição de $\pi$ ao contrário: divida o comprimento de qualquer círculo pelo diâmetro e você cai sempre no mesmo número. Levantar a corda $h$ metros é desenhar um segundo círculo, com raio $r+h$. A corda nova mede

$$C_{\text{nova}}=2\pi (r+h)=2\pi r+2\pi h.$$

O primeiro pedaço é exatamente a corda velha. Então a corda a mais é

$$C_{\text{nova}}-C_{\text{velha}}=2\pi r+2\pi h-2\pi r=2\pi h.$$

O termo que carrega o raio aparece nas duas cordas e vai embora na subtração. Não é que o raio seja pequeno ou desprezível: ele não está lá. E o que sobra, $2\pi h$, mostra o papel da altura: levante dois metros e são 12,57 m; levante dez e são 62,83 m. Dois pi metros de corda para cada metro de altura.

Qualquer círculo

Depois da conta o resultado continua parecendo errado, então vale ver acontecendo. A tabela vai do átomo de hidrogênio ao universo observável — quase 37 ordens de grandeza de diferença entre o menor e o maior raio.

círculo	raio	a volta	corda nova ÷ velha	corda a mais
átomo de hidrogênio	0,053 nm	0,332 nm	1,89 × 10¹⁰	6,28 m
bola de futebol	11,0 cm	69,1 cm	10,09	6,28 m
Terra (equador)	6.378 km	40.075 km	1 + 1,6 × 10⁻⁷	6,28 m
Sol	695.700 km	4.371.212 km	1 + 1,4 × 10⁻⁹	6,28 m
universo observável	4,65 × 10¹⁰ anos-luz	2,92 × 10¹¹ anos-luz	1 + 2,3 × 10⁻²⁷	6,28 m

A coluna da razão vai de quase vinte bilhões no átomo a praticamente 1 na Terra. A coluna da direita não muda uma casa decimal. Não é aproximação: é igualdade, e vale para todo raio.

Por que parece errado

Porque a gente ouve que a Terra é gigante e conclui que a correção também tem de ser gigante. E em porcentagem ela é mesmo minúscula:

$$\frac{2\pi \cdot 1\text{m}}{2\pi \cdot 6378\text{km}}=\frac{1\text{m}}{6378137\text{m}}\approx 0,0000157\%.$$

Dezesseis milionésimos de um por cento. Só que a pergunta não foi em porcentagem.

Ponha o raio num eixo e o comprimento no outro: $C=2\pi r$ é uma reta. Reta quer dizer inclinação constante — andar um metro para a direita sobe sempre a mesma altura, no começo da reta ou a seis milhões de metros dali. Em linguagem de cálculo, a derivada do comprimento em relação ao raio é constante:

$$\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}r}=2\pi .$$

A intuição não é burra: ela está respondendo a outra pergunta. Se você perguntasse pela área, o tamanho importaria muitíssimo. A faixa de largura $h$ em volta de um disco de raio $r$ tem área

$$\pi (r+h{)}^2-\pi r^2=\pi (2r+h)h,$$

e esse $r$ não vai embora. Com $h=1$ m, a faixa em volta da Terra tem 4,01 × 10⁷ m² — quarenta milhões de metros quadrados —, e a faixa em volta de uma bola de futebol, 3,83 m². Área cresce com o quadrado do raio; a derivada dela, $\mathrm{d}A/\mathrm{d}r=2\pi r$, é o próprio comprimento, e depende do tamanho. Comprimento cresce com o raio, e só.

A pista de atletismo

Isso aparece toda vez que você assiste a uma corrida. Numa pista de 400 m os corredores largam escalonados, cada um à frente do vizinho de dentro, porque a raia de fora é mais comprida. Mais comprida quanto? Nas retas as raias são paralelas e valem o mesmo, então a diferença inteira está nas curvas — e as duas curvas, juntas, fecham um círculo. A raia tem 1,22 m de largura:

$$\Delta =2\pi \times 1,22\text{m}\approx 7,67\text{m}.$$

É o escalonamento que a norma manda desenhar. E repare no que decide esse número: a largura da raia. O tamanho da pista, não — uma pista olímpica e uma pistinha coberta escalonam igual.

E se a corda for puxada por um ponto só?

Uma variante clássica deixa a intuição em pedaços pela segunda vez. Pegue a corda justa em volta da Terra e acrescente 1 metro. Distribuída por igual, essa folga levanta o anel inteiro só $1/2\pi \approx$ 15,9 cm — dá para um gato passar por baixo, e pouco mais. Agora, em vez disso, puxe a corda para cima num ponto só, como uma tenda, até ela ficar esticada. Qual a altura do pico?

As duas pernas da tenda são tangentes à Terra. Cada uma troca um arco de comprimento $R\theta$ por um segmento de comprimento $R\tan \theta$, em que $\theta$ é o ângulo, visto do centro, entre o pico e o ponto onde a corda volta a encostar. A folga é a soma das duas trocas, e a altura do pico sai do triângulo retângulo:

$$\text{folga}=2R(\tan \theta -\theta ),h=R\left(\frac{1}{\cos \theta }-1\right).$$

Para ângulos pequenos, $\tan \theta -\theta \approx {\theta }^3/3$ e $1/\cos \theta -1\approx {\theta }^2/2$, o que dá

$$h\approx \frac{R}{2}{\left(\frac{3\cdot \text{folga}}{2R}\right)}^{2/3}.$$

Com $R=6371$ km e 1 m de folga, o pico fica a 121,46 m do chão (a aproximação dá 121,46 m), e a corda só volta a encostar a 39,3 km de distância, para cada lado. O mesmo metro: 16 cm por igual, ou um prédio de quarenta andares num ponto só. Aqui o raio entra na conta — a altura cresce como $R^{1/3}$.

Os números do episódio

Desafios

Para ir além

• A fórmula de Steiner generaliza a corda: para qualquer forma convexa, a curva paralela a distância $h$ mede o perímetro original mais $2\pi h$, e a área cresce $Ph+\pi h^2$ — o mesmo par “comprimento sem tamanho, área com tamanho”.
• O "$\mathrm{d}C/\mathrm{d}r=2\pi$" é uma derivada constante; a área ter derivada $2\pi r$ é o começo de o que é uma derivada.
• No laboratório, as quatro vistas juntas.