Sempre existe um lugar sem vento

A afirmação

Neste exato momento existe pelo menos um ponto na superfície da Terra onde o vento horizontal é zero. Não é estimativa nem probabilidade: é uma garantia, vale para qualquer instante, em qualquer planeta, com qualquer clima — e a demonstração não olha nenhum dado de vento.

O teorema só pede duas coisas:

1. O vento é tangente à superfície. Vento horizontal não entra no chão nem sai para o espaço.
2. O vento varia de forma contínua. Não salta de norte para sul entre dois pontos vizinhos.

Em linguagem de matemático: chame de $S^2$ a superfície da esfera de raio 1 e de $v(p)$ a seta do vento no ponto $p$.

$$v:S^2\to {\mathbb{R}}^3\text{contıˊnua},v(p)\cdot p=0\text{para todo }p⟹v(p_0)=0\text{para algum }{p}_0.$$

A condição $v(p)\cdot p=0$ é o “tangente”: num globo de raio 1, o vetor $p$ aponta para fora, e a seta do vento é perpendicular a ele. Com essas duas hipóteses, é impossível ventar em toda parte ao mesmo tempo.

Pentear uma bola

O nome que os matemáticos deram a isso é o teorema da bola cabeluda. Imagine uma bola coberta de pelos e tente penteá-los todos deitados — nenhum apontando para fora, nenhum corte de redemoinho. Cada pelo deitado é uma seta tangente; penteado sem corte é continuidade. Você vai desistir, e não é falta de jeito.

Penteie tudo para o mesmo lado, girando em volta de um eixo, e os dois polos viram redemoinhos. Penteie do polo norte para o sul, e o norte fica com um espinho de pelos saindo em todas as direções, enquanto o sul vira um ralo. Empurre o defeito para outro lugar: ele anda, muda de forma, às vezes se divide em dois — e não some. É por isso que todo mundo tem pelo menos um redemoinho no cabelo.

O índice de um ponto parado

Para entender por que o defeito não some, é preciso dar um número a ele. Desenhe um laço pequeno em volta do ponto parado e ande uma vez em volta dele, no sentido anti-horário, olhando a seta do vento. A seta gira enquanto você anda. Como ela volta exatamente à direção de partida, o total que ela girou é um número inteiro de voltas. Esse número é o índice do ponto:

$${\mathrm{ind}}_{p_0}(v)=\frac{1}{2\pi }{\oint }_{\gamma }\mathrm{d}\theta ,$$

em que $\theta$ é o ângulo da seta e $\gamma$ é o laço. Os quatro defeitos básicos, no plano, em coordenadas polares $x=r\cos \phi$, $y=r\sin \phi$:

campo	quem é	ângulo da seta	índice
$(x,y)$	espinho (tudo saindo)	$\phi$	$+1$
$(-x,-y)$	ralo (tudo entrando)	$\phi +\pi$	$+1$
$(-y,x)$	redemoinho	$\phi +\pi /2$	$+1$
$(x,-y)$	sela	$-\phi$	$-1$
$(x^2-y^2,2xy)$	defeito duplo	$2\phi$	$+2$

Espinho, ralo e redemoinho parecem diferentes, mas para a seta é tudo a mesma coisa: ela dá uma volta junto com você. A sela gira ao contrário. O defeito duplo é o que aparece quando dois defeitos de $+1$ se encostam.

O índice tem uma propriedade decisiva: ele é inteiro e não pode mudar aos pouquinhos. Se você deforma o laço sem passar por cima de nenhum ponto parado, as setas no caminho mudam continuamente, e o total de voltas também deveria mudar continuamente — mas um inteiro que muda continuamente fica parado. Daí sai a regra que a simulação mostra: o número de voltas num laço grande é a soma dos índices de tudo o que está dentro dele.

A rosquinha pode

Agora a parte que mostra que isso não é sobre pelo: numa rosquinha, dá. Penteie os pelos de um pneu de bicicleta ao longo do pneu, todos seguindo o anel — nenhum redemoinho, nenhum espinho, nenhum ponto parado. Em volta do tubo também funciona, e em espiral também.

Mesmos pelos, mesma regra, resultado oposto. A diferença não é o tamanho nem a forma: é o buraco.

Por que a esfera não pode

O argumento do vídeo, passo a passo.

Primeiro passo: aperte o laço. Pegue um laço na esfera e conte as voltas da seta ao longo dele. Se não houver nenhum ponto parado do lado de dentro, aperte o laço até ele virar um ponto. Perto do fim, o laço é minúsculo e a seta é quase constante nele: zero voltas. Como a contagem é inteira e não pode mudar continuamente, ela já era zero desde o começo.

Segundo passo: os dois lados. Na esfera, um laço — o equador, digamos — separa a bola em duas calotas, e dá para apertar o mesmo laço para os dois lados. Só que “contar as voltas da seta” exige uma régua para medir ângulos, e não existe uma régua só que sirva para a esfera inteira. Cada calota usa a sua: a projeção estereográfica a partir do polo oposto, que achata a calota inteira num plano.

$${\sigma }_{\text{norte}}(x,y,z)=\frac{(x,y)}{1+z},{\sigma }_{\text{sul}}(x,y,z)=\frac{(x,y)}{1-z}.$$

A primeira projeta a partir do polo sul e enxerga toda a calota norte; a segunda faz o contrário. No equador as duas valem, e dá para comparar. Escreva o vento ali como $v=a{\hat{e}}_{\text{leste}}+b{\hat{e}}_{\text{norte}}$. Na carta do norte, o componente que aponta para o norte vira “para dentro” (em direção ao centro, que é o polo norte); na carta do sul, ele vira “para fora”. Feita a conta, os ângulos ${\alpha }_N$ e ${\alpha }_S$ da mesma seta nas duas cartas, no ponto de longitude $\lambda$, obedecem a

$${\alpha }_N+{\alpha }_S=2\lambda +\pi .$$

Dê uma volta no equador: $\lambda$ cresce $2\pi$, então a soma dos dois ângulos cresce $4\pi$ — duas voltas inteiras.

$$\underset{\begin{array}{c}\text{voltas}\\ \text{pelo norte}\end{array}}{\underbrace{W_N}}+\underset{\begin{array}{c}\text{voltas}\\ \text{pelo sul}\end{array}}{\underbrace{W_S}}=2.$$

Terceiro passo: a contradição. Se o vento não parasse em lugar nenhum, o primeiro passo daria $W_N=0$ (nada dentro da calota norte) e $W_S=0$ (nada dentro da calota sul). Mas as duas somam 2. Contradição — a menos que exista ponto parado.

A rosquinha escapa porque o laço que dá a volta no buraco não encolhe para lugar nenhum — o buraco está no meio. E na rosquinha existe uma régua única que serve para tudo: “ao longo do anel” e “em volta do tubo” são direções definidas em todos os pontos. É exatamente esse par de direções que dá o penteado sem defeito.

O primo: Borsuk–Ulam

Existe um primo desse teorema com um enunciado que parece invenção: neste instante, existem dois pontos exatamente opostos da Terra com a mesma temperatura e a mesma pressão atmosférica. Sempre existem. Chama-se teorema de Borsuk–Ulam (conjecturado por Stanisław Ulam e provado por Karol Borsuk em 1933), e o preço é o mesmo: continuidade, e mais nada.

Uma grandeza, em três frases. Pegue a diferença de temperatura entre um ponto e o seu oposto,

$$f(p)=T(p)-T(-p).$$

Ela é ímpar: no ponto oposto, $f(-p)=T(-p)-T(p)=-f(p)$, a mesma diferença com o sinal trocado. Se em algum lugar $f$ é positiva, no ponto oposto ela é negativa, e uma grandeza contínua que é positiva num lugar e negativa em outro passa por zero no caminho. É o teorema do valor intermediário, vestido de planeta.

Duas grandezas ao mesmo tempo. Para temperatura e pressão juntas, o argumento é o do laço outra vez. Junte as duas diferenças numa seta do plano,

$$g(p)=(T(p)-T(-p),P(p)-P(-p)),g(-p)=-g(p).$$

Se $g$ nunca se anulasse, a direção dela no equador seria uma seta que, a cada meia volta, aponta exatamente para o lado oposto ($g(-p)=-g(p)$). Meia volta no laço, então, é um número ímpar de meias voltas da seta; a volta inteira é um número ímpar de voltas — nunca zero. Mas o equador é a borda do hemisfério norte, onde $g$ também não se anula, e apertando o laço até um ponto a contagem teria de ser zero. Contradição: em algum ponto $g(p)=0$, isto é, $T(p)=T(-p)$ e $P(p)=P(-p)$.

Onde isso importa

Os olhos dos ciclones. Os pontos de vento zero não são detalhe: são os centros de rotação. Todo sistema de ventos numa esfera é obrigado a ter olhos. O teorema não diz onde eles estão nem quantos são — diz que a conta, feita com sinal, fecha em dois. Ciclones e anticiclones são redemoinhos (índice $+1$); entre eles aparecem os colos, regiões de sela onde o vento entra por dois lados e sai por outros dois (índice $-1$). Em qualquer mapa global de vento,

$$\#\text{ciclones}+\#\text{anticiclones}-\#\text{colos}=2,$$

desde que os pontos parados sejam desses tipos simples.

A antena que não consegue. Longe de uma antena, o campo elétrico da onda é perpendicular à direção em que ela viaja — ou seja, tangente à esfera de direções em volta da antena. Pelo mesmo teorema, esse campo tem de se anular em alguma direção: nenhuma antena irradia com a mesma intensidade para todo lado. O “radiador isotrópico” das contas de engenharia é uma referência imaginária; toda antena real tem pelo menos uma direção morta. Não é limitação de projeto, é proibição topológica — todo projetista contorna, ninguém resolve.

Por que reatores de fusão são rosquinhas. Num tokamak, o plasma é preso por um campo magnético cujas linhas correm rente à superfície do plasma. Onde o campo zera, o plasma escapa. Uma superfície esférica teria obrigatoriamente um ponto assim; uma rosquinha, não. É uma das razões de o formato ser um toro.

Repare no que aconteceu: dá para afirmar um fato sobre o clima da Terra sem consultar uma única medição. A forma do planeta já proibia o contrário. Em algum lugar, agora, está tudo parado.

Os números do episódio

Desafios

Para ir além

• O ponto fixo de Brouwer, outro parente: mexa o café sem espirrar e, quando ele parar, algum ponto do líquido está exatamente onde começou.
• O sanduíche de presunto: um único corte reto de faca divide ao meio, ao mesmo tempo, o pão, o presunto e o queijo, estejam onde estiverem. É Borsuk–Ulam uma dimensão acima.
• O mesmo $\chi$ aparece somando curvatura: $\iint K\mathrm{d}A=2\pi \chi$ (Gauss–Bonnet). A curvatura da esfera é também o que proíbe um mapa plano sem distorção — a história de por que nenhum mapa está certo.
• No laboratório, as cinco vistas juntas.