Por que nenhum mapa do mundo está certo

Uma votação sobre um desenho

Em 4 de setembro de 2026, a Assembleia Geral da ONU aprovou uma resolução chamada “Corrija o Mapa”: 164 votos a favor, um contra, seis abstenções, num texto negociado pelo Togo em nome do Grupo Africano. Ela não obriga ninguém a nada e recomenda uma coisa só: parar de usar a projeção de Mercator como mapa-múndi padrão e passar a usar uma projeção que preserve área — a indicada é a Equal Earth.

A leitura imediata foi de que isso é política. E é, em parte. Mas a parte mais interessante não é: todo mapa plano da Terra erra alguma coisa, sempre, e isso não é falta de cuidado nem de tecnologia. É um teorema, publicado por Gauss em 1827, e ele diz exatamente o que é impossível.

Groenlândia contra África

A queixa central é fácil de conferir. Na Mercator, a Groenlândia parece do tamanho da África. As áreas de verdade são outras: uns 2,2 milhões de km² contra uns 30 milhões. Pelos contornos que este site usa (os mesmos do vídeo), a África tem 13,7 vezes a área da Groenlândia; pelas áreas oficiais, quase 14. Uma ordem de grandeza inteira escondida num desenho que quase todo mundo já viu.

Então está resolvido: basta trocar o mapa? Não. Trocar de projeção não conserta o mapa — apenas escolhe outro erro.

A casca da laranja

Descasque uma laranja tentando manter a casca inteira e deite-a na mesa: ou ela rasga, ou você amassa alguma parte. Com um cilindro de papel é diferente: desenrola sem marca nenhuma. A diferença não é o material, é geometria — e dá para medir sem sair da superfície.

Desenhe um triângulo na mesa: os ângulos somam 180°, sempre. Agora desenhe um na esfera: saia do polo norte, desça até o equador, ande um quarto de volta e suba de volta ao polo. Os três ângulos são retos, e a soma dá 270°. Um ser que morasse na esfera, sem nunca vê-la de fora, descobriria que ela não é plana medindo o que tem debaixo dos pés.

A grandeza que ele estaria medindo é a curvatura de Gauss, $K$. Vale zero no plano e $1/R^2$ numa esfera de raio $R$. E o excesso dos ângulos sobre 180° é a curvatura somada sobre a área do triângulo — o teorema de Girard, numa esfera:

$$\alpha +\beta +\gamma -\pi =\frac{\text{aˊrea}}{R^2}.$$

O triângulo do polo tem área de um oitavo da esfera, $4\pi R^2/8=\pi R^2/2$; o excesso é $\pi /2$, os 90° a mais.

O Teorema Egrégio

O teorema que o próprio Gauss chamou de egregium — notável — diz que a curvatura não muda quando você entorta a superfície sem esticar. Enrolar o papel não mexe na curvatura dele: continua zero, e por isso o cilindro deita na mesa sem reclamar. A esfera tem curvatura positiva em todo ponto, e nenhum entortamento, por mais esperto que seja, leva $1/R^2$ em zero.

A conclusão é definitiva: não existe mapa plano de nenhum pedaço da Terra que preserve todas as distâncias. Nem do mundo, nem de um país, nem de um bairro — só que, num bairro, o erro é pequeno demais para importar.

O que cada mapa promete: a elipse de Tissot

Se distorcer é obrigatório, a pergunta muda: distorce o quê, e quanto? Nicolas Tissot, no século XIX, deu a ferramenta. Desenhe um círculo minúsculo na esfera e veja o que a projeção faz com ele: se o círculo for pequeno o bastante, o resultado é sempre uma elipse. Dois números a descrevem — os semieixos $a\ge b$, comparados com o raio do círculo de onde ela veio.

Com eles dá para escrever as duas promessas que um mapa pode fazer:

$$\underset{\text{conforme: aˆngulos certos}}{\underbrace{a=b}}\underset{\text{equivalente: aˊreas certas}}{\underbrace{a\cdot b=1}}$$

Agora tente as duas ao mesmo tempo. Substitua uma na outra: $a^2=1$, então $a=b=1$ em todo ponto. Isso quer dizer que nada foi esticado em lugar nenhum — o mapa preservaria todas as distâncias. É exatamente o que o Teorema Egrégio proíbe. Duas linhas de conta: ou o mapa preserva ângulo, ou preserva área. Essa parte não está em votação.

Mercator não errou

A Mercator não foi desenhada para inflar a Europa. Ela resolveu um problema concreto de 1569: navegar com bússola. Quem mantém um rumo fixo — nordeste, digamos — faz sobre a esfera uma espiral que aperta em direção ao polo, a loxodromia. Mercator queria uma carta em que rumo constante virasse linha reta: uma régua, e o navegador tem o seu ângulo.

Repare no que essa exigência obriga. Na latitude $\phi$, uma volta ao redor da Terra é menor que no equador por um fator $\cos \phi$. Desenhando os meridianos como retas paralelas, aquela latitude já foi esticada na horizontal por $\sec \phi =1/\cos \phi$. Para o ângulo sobreviver, o esticamento vertical tem de ser igual ao horizontal, ponto por ponto:

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\phi }=\sec \phi ⟹y={\int }_0^{\phi }\sec t\mathrm{d}t=\ln \tan \left(\frac{\pi }{4}+\frac{\phi }{2}\right).$$

Mercator não escolheu o logaritmo; a promessa de preservar ângulo escolheu por ele.

E o preço vem no mesmo pacote. Se as duas direções foram multiplicadas por $\sec \phi$, a área foi multiplicada por ${\sec }^2\phi$: 2 vezes a 45°, 4 vezes a 60°, 10,5 vezes na Groenlândia, perto de 72°. No polo, a secante explode: a Antártida vira uma faixa infinita, e todo mapa de Mercator é cortado antes de chegar lá. Nada disso é defeito. É a fatura da promessa.

Área certa: Lambert e Gall–Peters

Agora vá para o outro lado e exija $a\cdot b=1$. Mantendo os meridianos retos e paralelos, o esticamento horizontal continua $\sec \phi$; para a área fechar, o vertical tem de ser $\cos \phi$:

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\phi }=\cos \phi ⟹y=\sin \phi .$$

Essa é a cilíndrica equivalente de Lambert, de 1772. Em 1973, Arno Peters apresentou a mesma família com o paralelo padrão em 45° e um argumento político quase idêntico ao de agora; a Gall–Peters chegou a ser mapa oficial de escola em vários lugares. A área certa também tem fatura, e ela se paga em forma: no equador, a elipse da Gall–Peters é duas vezes mais alta que larga — a África sai esticada para baixo —, e perto dos polos as elipses deitam e viram traços.

A Equal Earth

A Equal Earth, de 2018, de Bojan Šavrič, Bernhard Jenny e Tom Patterson, é a mesma exigência com uma escolha muito melhor: os meridianos curvam, os paralelos encurtam perto dos polos, e o polo deixa de ser uma linha do tamanho do equador. Com $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \phi$ e o polinômio $P(\theta) = A_1\theta + A_2\theta^3 + A_3\theta^7

• A_4\theta^9$,

$$x=\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\lambda \cos \theta }{P^{\prime }(\theta )},y=P(\theta ),$$

com $A_1$ = 1,340264, $A_2$ = −0,081106, $A_3$ = 0,000893 e $A_4$ = 0,003796. O denominador de $x$ não está lá por acaso: é ele que faz o determinante da jacobiana dar $\cos \phi$ — exatamente a área que aquele retalho tem na esfera. A área é exata, não aproximada.

Para comparar as duas equivalentes, mede-se a deformação angular média: o ângulo $\omega$ entortado, em média sobre o planeta, cada lugar pesando pela própria área. A Gall–Peters fica em 33,1°; a Equal Earth, em 29,4°. Melhor em quase todas as latitudes, e é a que a resolução recomenda.

A terceira saída: não prometer nada

A Winkel Tripel erra um pouco o ângulo e um pouco a área, de propósito, para que nenhum dos dois erros fique grande. “Tripel” quer dizer trio, em alemão: área, direção e distância, equilibradas. E funciona: a deformação média dela é 23,7°, abaixo das duas equivalentes. É o mapa-múndi que a National Geographic adotou em 1998.

Melhor para quê?

“Qual é a melhor projeção?” não é uma pergunta completa. Para navegar com rumo constante, Mercator, e nada chega perto. Para comparar tamanhos, qualquer equivalente — hoje a Equal Earth é a mais bem resolvida. Para saber a que distância tudo está de um ponto só, a azimutal equidistante. Ela, aliás, é a projeção do emblema da ONU, centrada no polo norte: o símbolo da organização já era uma escolha do que preservar, e não é nem conforme nem equivalente.

E a Mercator não morreu, nem deveria. O mapa do seu celular é Mercator — a variante da web, cortada em 85,05° de latitude. O corte não é arbitrário: é a latitude em que $y$ chega a $\pi$, e o mundo inteiro cabe num quadrado. O motivo de usá-la é o mesmo de 1569: no zoom de rua, um cruzamento de 90° tem de aparecer com 90° e um quarteirão quadrado não pode sair losango. Isso é conformidade. O erro de área continua lá — irrelevante numa tela de trezentos metros, a coisa mais visível do mundo num mapa de parede.

O que a matemática decide, e o que sobra

A primeira pergunta é matemática e está decidida há quase duzentos anos: nenhum mapa plano preserva tudo; preservar ângulo custa área; preservar área custa forma; e não existe terceira opção esperando alguém esperto o bastante. Isso não muda com votação nem com computador melhor.

Mas sobra a escolha, e ela é enorme. Um mapa-múndi de parede não serve para navegar: serve para uma criança olhar todo dia durante nove anos e formar uma ideia do tamanho do mundo. Nesse uso, o que ela lê no desenho é área — e preservar área é uma escolha defensável, feita por gente, com um motivo que dá para dizer em voz alta. É isso que uma assembleia pode votar: não a geometria, o propósito.

O único mapa da Terra sem distorção nenhuma é o globo. Todo mapa plano é uma frase que começa com “supondo que o que importa aqui é…” — e termina de um jeito diferente para cada uso.

Os números do episódio

Desafios

Para ir além

• Girard é o caso da esfera de um teorema maior, o de Gauss–Bonnet: somando a curvatura sobre uma superfície fechada inteira, sai $2\pi \chi$ — o mesmo $\chi$ que, em o teorema da bola cabeluda, conta os redemoinhos.
• No laboratório: as projeções e o tamanho real dos países.
• Os contornos são do Natural Earth (domínio público), em escala 1:110 milhões.