Por que o calor desce

Como funciona

Um sólido de Einstein é o modelo mais simples de um corpo que guarda calor: $N$ osciladores, cada um com energia em pacotes iguais, os quanta. O número de maneiras de repartir $q$ quanta entre $N$ osciladores é

$$\Omega (N,q)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{q+N-1}{q}\right).$$

Aqui há dois blocos, A e B, encostados. A cada troca, a simulação sorteia um oscilador qualquer e, se ele tiver um quantum, passa esse quantum para outro oscilador sorteado — do mesmo bloco ou do outro. Essa regra não sabe o que é quente nem frio, e visita todos os microestados com a mesma frequência (o teste da simulação confere isso contando).

Comece com toda a energia em A. Os quanta escorrem para B até a divisão ficar flutuando em volta de um valor — o macroestado com mais microestados. Ninguém mandou a energia ir para o frio: existem mais maneiras de ela estar espalhada.

Na vista das curvas, $\ln {\Omega }_A$ cresce com $q_A$ e $\ln {\Omega }_B$ diminui. A soma tem um pico, e no pico as duas inclinações são iguais e opostas. A inclinação de $S=k\ln \Omega$ em função da energia é exatamente o que a termodinâmica chama de $1/T$:

$$\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial U}⟹kT=\frac{\epsilon }{\ln (1+N/q)}.$$

O equilíbrio é onde $T_A=T_B$. Temperatura não é energia por partícula: é quanto a entropia de um corpo muda quando ele recebe um pouco de energia. Um corpo frio ganha muita entropia por joule recebido; um quente, pouca. Por isso a energia vai do quente para o frio — a soma das entropias sobe.

Experimente blocos de tamanhos bem diferentes: o bloco grande fica com mais quanta no equilíbrio, mas a temperatura dos dois é a mesma.