Somas de Riemann
Retângulos pela esquerda, pela direita, pelo meio e trapézios. Área com sinal, valor médio e a função que acumula.
As quatro vistas
Somas de Riemann. Escolha o que acumular — a velocidade de uma viagem de 40 minutos, , ou a taxa de uma chuva — e corte o intervalo em pedaços. Em cada pedaço, a altura é tomada à esquerda, à direita, no meio, num ponto sorteado, ou vira um trapézio. Com poucos pedaços as escolhas discordam; com muitos, todas convergem para o mesmo número, que a simulação confere contra a antiderivada exata. Ligue pedaços de larguras diferentes: o que manda não é quantos pedaços, é o mais largo deles encolher. (A viagem dá 40,10 km.)
Área com sinal. como a velocidade de quem vai e volta. O que fica acima do eixo soma; o que fica abaixo subtrai. Andando até segundos, o deslocamento volta a zero e a distância percorrida chega a 4 metros.
O valor médio. A região embaixo da curva vira um líquido e é solta: os picos escorrem para os vales até a superfície ficar plana. A forma intermediária é , que conserva a área a todo instante — a altura final é a média, e o ponto marcado é onde a própria curva passa por ela.
A função que acumula. , com a fronteira andando. A faixa dourada é o que entra quando anda um pouco: quase um retângulo de altura . Embaixo, vai sendo traçada, e a reta lilás — com inclinação — é a tangente dela. Derivar desfaz integrar.
