Isso não é matemática

A briga

$8÷2(2+2)$. Metade da internet responde 1; a outra metade responde 16; e as duas metades estão convictas de que a outra é burra. Em 2019 essa conta rodou o mundo — o New York Times publicou três textos sobre ela, na seção de ciência. E não foi a primeira: em 2011 a briga era $48÷2(9+3)$, exatamente o mesmo formato.

Essa conta não tem resposta. E não é limitação de quem lê: os dois campos estão certos, cada um dentro da própria leitura. Existe um jeito de escrever isso, mais velho que o sinal de divisão, em que a briga não pode nem começar.

Onde está a discordância

Primeiro, vale achar exatamente onde as duas metades discordam — porque é num lugar minúsculo. Todo mundo concorda que $2+2=4$. Todo mundo concorda no que é dividir e no que é multiplicar. Ninguém está errando conta nenhuma.

Sobra uma pergunta só, sobre o 2 encostado no parêntese — uma multiplicação escrita sem símbolo. Ela é a mesma coisa que “2 vezes o parêntese”? Ou estar encostado cola aquilo num bloco só, que desce inteiro para baixo da divisão?

$$\underset{\text{encostado eˊ multiplicac¸a˜o comum}}{\underbrace{(8÷2)\times (2+2)=4\times 4=16}}\underset{\text{encostado cola}}{\underbrace{8÷(2\times (2+2))=8÷8=1}}$$

Duas árvores de leitura para uma linha escrita. E o que separa as duas não é propriedade de número nenhum, não é teorema: é ortografia. A matemática não tem opinião sobre isso.

Desenhe, em vez de escrever numa linha

Pare de escrever em uma linha e desenhe as duas leituras:

$$\frac{8}{2}(2+2)\text{ou}\frac{8}{2(2+2)}.$$

Pergunte de novo qual é qual: ninguém discute um desenho. É isso que a barra faz e o sinal ÷ não faz — ela tem comprimento. A barra não é um operador entre dois números: é um parêntese que você vê. O que está em cima está agrupado, o que está embaixo está agrupado, e o tamanho dela é o agrupamento.

E ela é mais velha. A barra de fração aparece no Marrocos, com al-Hassar, por volta de 1200, e chega à Europa no Liber Abaci de Fibonacci, em 1202. O sinal ÷ só apareceu em 1659, num livro de álgebra do suíço Johann Rahn — e já nasceu comprometido: outros autores usavam o mesmo sinal para subtração, um uso que sobreviveu na Noruega e na Dinamarca até bem recentemente. O ÷ existe porque teclado e linha de texto são uma linha só; ele é uma compressão, e o preço de comprimir é ter de lembrar onde estavam os parênteses. A barra não esquece, porque não guarda isso numa regra: guarda no desenho.

As máquinas também discordam

Se ainda parece falta de atenção de quem responde, olhe para as calculadoras. Digite a conta numa Casio das linhas recentes: ela responde 1. Digite a mesma conta numa calculadora gráfica atual da Texas Instruments: 16. Nenhuma das duas está com defeito. E a própria Texas Instruments trocou de lado no meio do caminho: nos modelos antigos, a multiplicação sem símbolo tinha prioridade maior — a documentação dizia que era para o usuário poder digitar a expressão como escreveria à mão —; na geração seguinte, passou a ter prioridade igual, da esquerda para a direita. Mesma marca, mesma tecla, duas respostas.

E as pessoas que escrevem matemática para viver? Não escolheram um vencedor: proibiram a notação. A norma internacional que define os sinais matemáticos da ciência e da engenharia, a ISO 80000-2, diz que o ÷ não deve ser usado para divisão. A outra metade da ambiguidade, a da barra inclinada, está resolvida no guia de estilo da Physical Review: o que vem encostado depois da barra continua embaixo dela. É assim que a física é escrita há um século — a constante de Planck dividida por $2\pi$ aparece como $h/2\pi$, com o 2 e o $\pi$ juntos embaixo da barra.

Por que a ordem existe

A pergunta honesta: se a ordem das operações é convenção, ela é arbitrária? Podia ser qualquer uma? Não — e entender por que não é a parte deste assunto que é matemática de verdade.

Olhe para a coisa mais escrita da álgebra: $3x^2+2x+1$. Agora ponha todos os parênteses, sem confiar em convenção nenhuma:

$$\left(\right(3\cdot (x^2))+(2\cdot x))+1.$$

São 4 pares de parênteses para uma expressão que se lê sem pensar. A ordem das operações foi escolhida para que essa linha dispense todos eles: potência antes de produto, produto antes de soma é exatamente o aninhamento de um polinômio, a forma que mais aparece. Então ela não é lei da natureza nem teorema: é gramática, um jeito de deixar curto o que se escreve muito. E gramática só funciona onde todo mundo tem a mesma.

Repare no que é matemática e no que não é: $8÷8=1$ é matemática. $4\times 4=16$ é matemática. Qual das duas aquela linha quis dizer — isso não é.

Uma conta feita para a briga

Cuidado com o contrário: $2+2\times 2$ é 6, e quem responde 8 errou mesmo. Essa não é ambígua; existe uma leitura só. Metade dos problemas virais é quebrada de propósito e não tem resposta; a outra metade tem uma resposta só, e a pessoa errou.

E nada disso é acidente. Uma pergunta com uma resposta certa rende um comentário: a resposta. Uma pergunta com duas respostas defensáveis, cada uma apoiada numa regra que a pessoa aprendeu na escola, rende mil — porque certeza é o que faz alguém digitar. A matemática gasta a energia dela no lado oposto: inventa notação, definição, e escreve com uma precisão que chega a irritar, tudo para chegar num ponto em que duas pessoas cuidadosas não consigam discordar. Uma conta desenhada para gerar briga não é matemática difícil. Não é matemática.

Quando aparecer no seu feed, não responda 1 nem 16: desenhe as duas frações e pergunte qual delas a pessoa quis dizer. A briga acaba na hora — e é exatamente por isso que ninguém faz isso.

Os números do episódio

Desafios

Para ir além

• A notação que hoje parece natural foi construída aos poucos: A ideia mais importante da matemática.
• No laboratório, qualquer conta, nas quatro convenções.