O primeiro dígito entrega a fraude

A tabela

Abra qualquer tabela grande de números do mundo real — a população das cidades do Brasil, o comprimento dos rios, o faturamento das empresas de um setor. Olhe só o primeiro dígito de cada número e conte quantos começam com 1, quantos com 2, e assim por diante até o 9.

O palpite natural é que não há motivo para preferir nenhum: 11% para cada. Não é isso. O dígito 1 aparece em cerca de 30% dos números; o 9, em menos de 5%. A área dos 177 países do mapa-múndi, por exemplo: 56 começam com 1 — 31,6%.

A lei

A proporção de números que começa com o dígito $d$ é

$$P(d)={\log }_{10}\left(1+\frac{1}{d}\right)={\log }_{10}(d+1)-{\log }_{10}d.$$

O mais estranho é que ela não vale para um tipo de dado: vale para populações, contas de luz, constantes da física, endereços de rua e preços de ações — coisas que não têm nada a ver umas com as outras. Isso pede uma explicação que não dependa do assunto.

A pista falsa: “números pequenos são mais comuns”

A explicação preguiçosa é dizer que números pequenos aparecem mais. Mas a lei não fala de números pequenos: fala do primeiro dígito, e 1.000.000 começa com 1 tanto quanto 1. Uma tabela de cidades tem números de quatro a oito dígitos, e o efeito aparece igual dentro de cada faixa. A explicação de verdade é sobre como os números foram feitos: eles não foram sorteados — eles cresceram.

Uma cidade que cresce

Acompanhe uma cidade de mil habitantes crescendo 7% ao ano. A população depois de $t$ anos é $1000\cdot 1,07^t$. Para ir de 1.000 a 2.000 ela precisa que $1,07^t=2$:

$$t=\frac{\ln 2}{\ln 1,07}\approx 10,2\text{anos}.$$

Para ir de 9.000 a 10.000, basta $1,07^t=10/9$, ou seja $t\approx$ 1,56 anos. Fotografe essa cidade num ano qualquer e a chance de pegá-la começando com 1 é 6,58 vezes maior que a de pegá-la começando com 9. E a conta geral mostra por que a taxa não importa:

$$\frac{\text{tempo no dıˊgito }d}{\text{tempo na deˊcada}}=\frac{\ln \frac{d+1}{d}/\ln (1+g)}{\ln 10/\ln (1+g)}={\log }_{10}\left(\frac{d+1}{d}\right).$$

O $\ln (1+g)$ cancela. Qualquer coisa que cresce multiplicando — a uma taxa qualquer — passa em cada dígito exatamente a fração de Benford do seu tempo.

A régua é logarítmica

Isso é o mesmo que dizer que a régua natural para essas grandezas não é a comum, em que o que é constante é a soma — 1, 2, 3 —, e sim a logarítmica, em que o que é constante é a multiplicação — 1, 10, 100. Numa régua logarítmica de uma década, a faixa dos números que começam com 1 vai de ${\log }_{10}1=0$ a ${\log }_{10}2\approx 0,301$: ocupa 30,1% do espaço. A faixa do 9 vai de ${\log }_{10}9$ a ${\log }_{10}10$: 4,6%.

Se os dados se espalham por igual na régua logarítmica — o que acontece com qualquer coisa que varre várias ordens de grandeza por multiplicação —, a lei de Benford sai sozinha. Ela não é uma propriedade dos números; é a sombra de uma régua.

A prova pela troca de unidade

Tem um argumento curto que fecha a questão, e ele é de Roger Pinkham (1961).

Se existe uma lei universal para primeiros dígitos, ela não pode depender da unidade. Meça os rios em quilômetros ou em milhas, o faturamento em reais ou em dólares: os dígitos mudam, a lei tem de continuar valendo. Trocar de unidade é multiplicar a tabela inteira por uma constante $c$ — e, na escala logarítmica, multiplicar por $c$ é deslizar todos os pontos de ${\log }_{10}c$.

A única distribuição da posição na régua (a parte fracionária de ${\log }_{10}x$) que não muda quando tudo desliza por qualquer valor é a uniforme. E se a posição é uniforme, a chance de cair na faixa do dígito $d$ é a largura da faixa:

$$P(d)={\log }_{10}(d+1)-{\log }_{10}d.$$

Ou não existe lei nenhuma, ou a lei é essa. Não há terceira opção. (Theodore Hill provou em 1995 uma versão mais geral: a lei de Benford é também a única invariante por troca de base, e é o que aparece quando se misturam amostras de distribuições diferentes.)

Quando não vale

A lei falha, e saber quando é tão importante quanto saber a lei:

• Dados apertados numa faixa estreita. A altura das pessoas em centímetros começa quase sempre com 1. Não há várias ordens de grandeza para a régua logarítmica se espalhar.
• Etiquetas, não medidas. Números de telefone, CEP, placas, códigos de produto: ninguém os mediu, alguém os atribuiu por uma regra.
• Sorteios de verdade. Uma loteria uniforme entre 1 e 999 tem 11,1% para cada dígito — e é bom que tenha.
• Limites e tabelas. Preços tabelados, valores com teto, notas de 0 a 10.

A regra prática: Benford vale quando os dados varrem várias ordens de grandeza e nasceram de multiplicação.

A fraude

Quando uma pessoa inventa números para preencher uma planilha, ela tenta parecer aleatória — e gente tentando parecer aleatória espalha os dígitos por igual demais. Os dígitos altos aparecem mais do que deviam, e o 1 aparece de menos. É a assinatura que o histograma da figura mostra na opção Inventados.

Por isso auditores, fiscos e peritos usam o teste como primeira peneira: num arquivo com milhões de lançamentos, ele aponta as contas, os fornecedores ou os períodos cujos dígitos destoam. O episódio cita três casos em que ele foi aplicado: os balanços da Enron, os dados de contas públicas que a Grécia declarou à União Europeia e pesquisas científicas com dados fabricados.

O segundo dígito

A mesma régua prevê o segundo dígito: basta somar as faixas de todos os números com aquele segundo dígito, de 10 a 99.

$$P(\text{2º dıˊgito}=k)=\sum _{d=1}^9{\log }_{10}\left(1+\frac{1}{10d+k}\right).$$

O efeito é bem mais fraco — o 0 aparece em 12,0% e o 9 em 8,5% —, mas ele existe, e auditores também o testam: quem inventa valores costuma exagerar nos zeros e nos cincos redondos do segundo dígito.

Os números do episódio

Desafios

Para ir além

• Simon Newcomb notou o efeito em 1881: as primeiras páginas das tabelas de logaritmos (números começando com 1) ficavam muito mais gastas que as últimas. Frank Benford redescobriu a lei em 1938 e a testou em mais de 20 mil números de 20 fontes diferentes — é por isso que ela leva o nome dele.
• Roger Pinkham (1961) deu o argumento da invariância por escala; Theodore Hill (1995), a explicação por mistura de distribuições.
• Mark Nigrini transformou a lei em ferramenta de auditoria a partir dos anos 1990.
• No laboratório, teste os seus próprios números.